円周率が3.05より大きいことを証明せよ。（東京大・2003）
円周率が3.05よりも大きいことを示すためには、円周率の定義を再度確認する必要があります。円周率は、円の周囲の長さと直径の比率であり、数学的には次のように表されます。
円周率 = 円の周の長さ ÷ 円の直径
円周率が3.05よりも大きい場合、次の不等式が成り立つはずです。
円周率 > 3.05
また、円の周の長さと直径の関係から、次の不等式も成り立ちます。
円の周の長さ > 円の直径
これらの不等式を組み合わせると、以下のようになります。
円周率 = 円の周の長さ ÷ 円の直径 > 円の直径 ÷ 円の直径 = 1
つまり、円周率は1よりも大きく、3.05よりも大きいことが証明されました。実際、円周率は3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193...のように、3.05よりもはるかに大きな値になります。
うーん1より大きいことは分かったけど勝手に3.05より大きいことにしてるな…。
まあでも高校数学の範囲で、っていう前提を教えてないからなー。ちゃんと前提条件を設定してあげればいけるかも。
でもいっぱい円周率を覚えててえらい。
黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を順に横一列に12個全て並べる。ただし、袋から個々の球が取り出される確率は等しいものとする。
どの赤玉も隣合わない時、どの黒玉も隣合わない条件付確率を求めよ。（東京大・2023改題）
まず、袋から1つずつ球を取り出して12個の列を作る場合の数は、$12!$ 通りです。
次に、どの赤玉も隣接しない列を考えます。赤玉は4個ありますが、それらが隣り合わないような並べ方を考えると、黒玉と白玉の間に入れることができます。すなわち、黒玉や白玉のうちいずれかの前後に3つの赤玉を入れることができます。黒玉と白玉がそれぞれ $6$ 個ずつあるため、黒玉や白玉の並べ方は、それぞれ以下のようになります。
- 黒玉を先頭に並べる場合：$6\times 5\times 4$ 通り
- 白玉を先頭に並べる場合：$6\times 5\times 4$ 通り
- 黒玉と白玉の間に3つの赤玉を挟む場合：$6\times 4\times 3$ 通り
以上より、どの赤玉も隣接しない列を作る場合の数は、$2\times 6\times 5\times 4\times 3\times 4! + 6\times 4\times 3\times 4! = 2\times 6!\times 4 + 6\times 4!\times 6$ 通りとなります。
次に、どの黒玉も隣接しない列を考えます。黒玉は3個ありますが、それらが隣り合わないような並べ方を考えると、赤玉や白玉の間に入れることができます。すなわち、赤玉や白玉のうちいずれかの前後に2つの黒玉を入れることができます。赤玉と白玉がそれぞれ $6$ 個ずつあるため、黒玉や白玉の並べ方は、それぞれ以下のようになります。
- 黒玉を先頭に並べる場合：$3\times 5\times 4$ 通り
- 白玉を先頭に並べる場合：$3\times 5\times 4$ 通り
- 赤玉の前に2つの黒玉を挿入する場合：$4\times 3\times 2$ 通り
- 赤玉の後ろに2つの黒玉を挿入する場合：$4\times 3\times 2$ 通り
以上より、どの黒玉も
あーあ、途中で力尽きちゃった…。課金しないとダメか。
そもそも、解答欄にこんなこと書かれたら採点者も困っちゃうよ。
じゃあ変な言語を使わないようにしてみよう。
まず、全ての球を取り出す組み合わせの数を計算します。黒玉3個、赤玉4個、白玉5個の合計12個の球を並べる方法は、12個の空きスロットに球を1つずつ入れていく方法です。最初の空きスロットには12個の中からどれでも入れられるので、12通りの選択肢があります。次の空きスロットには、残りの11個の球の中から1つを選ぶことができます。このようにして、順番に全ての空きスロットを埋めていくと、次のようになります。
次に、どの赤玉も隣合わない場合の組み合わせの数を計算します。まず、赤玉4個を並べる方法は、4個の空きスロットに球を1つずつ入れていく方法です。最初の空きスロットには4個の中からどれでも入れられるので、4通りの選択肢があります。次の空きスロットには、隣接する空きスロットに赤玉を置かないために、残りの8個の球の中から選ぶことができます。このようにして、順番に全ての空きスロットを埋めていくと、次のようになります。
同様に、黒玉3個を並べる方法も計算します。最初の空きスロットには3個の中からどれでも入れられるので、3通りの選択肢があります。次の空きスロットには、隣接する空きスロットに黒玉を置かないために、残りの8個の球の中から選ぶことができます。このようにして、順番に全ての空きスロットを埋めていくと、次のようになります。
最後に、白玉5個を並べる方法を計算します。残りの5個の空きスロットに、白玉を1つずつ入れていくだけな
やっぱり力尽きちゃったけど、なんかいい感じがする。
とまあこんな感じでいろいろ試行錯誤した結果がこちら。
まず、すべての球を並べる順列の総数を求めます。そのために、以下の式を用います。
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
ここで、n は並べるものの数です。今回は、黒玉3個、赤玉4個、白玉5個で合計12個の球があるので、n=12 です。
12! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 479001600
次に、すべての赤玉が隣接しない場合の順列の総数を求めます。これは、以下のように考えます。
- 赤玉がすべて隣接する場合を考えます。この場合、4つの赤玉を並べる方法は4!通りあります。また、その他の8個の球を並べる方法は、8!通りあります。よって、赤玉がすべて隣接する場合の順列の総数は4! × 8!です。
- すべての順列の総数から、赤玉がすべて隣接する場合の順列の総数を引くことで、すべての赤玉が隣接しない場合の順列の総数が求まります。
すなわち、求める確率は以下のようになります。
P = (すべての赤玉が隣接しない場合の順列の総数) ÷ (すべての順列の総数) = (すべての順列の総数 - 赤玉がすべて隣接する場合の順列の総数) ÷ (すべての順列の総数) = (12! - 4! × 8!) ÷ 12! = 0.4167
よって、条件付確率は0.4167となります。
黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を順に横一列に12個全て並べる。ただし、袋から個々の球が取り出される確率は等しいものとする。
どの赤玉も隣合わない時、どの黒玉も隣合わない条件付確率を求めよ。ただし、回答はクレヨンしんちゃんの口調のみを用いることとする。
おおー！問題を読んでみると、なかなか手ごわい感じがするなぁ〜！でも大丈夫！しんちゃんが解説するからね！まずは、黒玉から考えていこう！黒玉3個を並べる場合の数は、まず最初の1個目を置く場所を選ぶ方法が12通り、2個目を置く場所を選ぶ方法が11通り、3個目を置く場所を選ぶ方法が10通りあるので、全部で12×11×10＝1,320通りあるんだよ！次に、赤玉4個をどうするかだね！この問題では、どの赤玉も隣り合わないように並べる必要があるから、まず赤玉を1つ置いたら、その隣には赤玉が置けないってことだね！じゃあ、1個目の赤玉を置く場所を選ぶと、次に置く場所は3通りしか選べなくなるんだ！これを順番に考えていくと、赤玉を並べる場合の数は、4×3×2×1＝24通りになるよ！最後に、白玉を並べる場合の数は、残りの場所に5個の白玉を並べる場合の数なので、9個の空き場所から5つ選んで、そこに白玉を並べる場合の数になるね！これは、9個から5個選ぶ組み合わせの数を計算すると、9C5＝126通りになるよ！では、これらを全てかけ合わせると、条件を満たす場合の数は、1,320×24×126＝3,174,720通りになるんだ！次に、全ての場合の数を考えると、12個の玉を並べる場合の数は、12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1＝479,001,600通りだね！そして、条件付確率は、条件を満たす場合の数を全ての場合の数で割ったものになるから、3,174,720÷479,001,600＝0.006625になるんだ！よって、条件付確率は0.006625だよ！解けたかな？しんちゃん、頑張ったでしょ？
0点だゾ。
